曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。
曲线定义
平面曲线
在数学上，一条曲线的定义为：
- 设I为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c就是一个连续函数c:I→X的映像，其中X为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为
。
曲线曲线方程
一般来说，当在
下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程。
曲线曲线的长度
平面曲线
其中a、b为x的上下限。
若平面曲线可表达成参数方程
，那么它的长度就是：
其中
、
为
的上下限。
曲线应用
曲线不是滤镜，它是在忠于原图的基础上对图像做一些调整，而不像滤镜可以创造出无中生有的效果。
曲线不是那么难以捉摸的，只要掌握了一些基本知识，你可以像掌握其他工具那样很快掌握曲线工具。
Photoshop给你的真正乐趣之一，是软件提供给你很多种解决难题的方案。就调整图像来说，在图像>调整菜单里有很多可以选择的工具，仅曲线工具你就可以：
调节全体或是单独通道的对比；
调节任意局部的亮度；
调节颜色。
曲线可以精确的调整图像，赋予那些原本应当报废的图片新的生命力！
曲线调节功能对每一个和图像打交道的人都很重要，所以即使你不使用Photoshop，你也可以从中得到不少有用的帮助。
曲线曲线原理
用最简单的话来说：拉RGB曲线是改变亮度，拉CMYK曲线是改变油墨。
（1）RGB曲线
它的横坐标是原来的亮度，纵坐标是调整后的亮度。在未作调整时，曲线是直线形的，而且是45°的，曲线上任何一点的横坐标和纵坐标都相等，这意味着调整前的亮度和调整后的亮度一样，当然也就是没有调整。
如果你把曲线上的一点往上拉，它的纵坐标就大于横坐标了，这就是说，调整后的亮度大于调整前的亮度，也就是说，亮度增加了。
“曲线”对话框还显示你所调整的点的“输入”、“输出”值，它们实际上就是横坐标和纵坐标。上图“输入”（即横坐标，调整前的亮度）是127，“输出”（即纵坐标，调整后的亮度）是154，意味着把亮度由127提高到154。亮度的取值范围是0～255，由于曲线的连续性，不仅这个点升高了，它左边的点（原来亮度为0～127）和右边的点（原来亮度为127～255）也升高了，这就是说整个画面的亮度都提高了。
曲线下面有两个滑块，在你忘记曲线的明暗方向时提醒你。黑滑块在左边，白滑块在右边，表示左边暗，右边亮。
曲线的左端点代表黑场，假如你把这个点提高，头发、眼珠等黑颜色就会变亮；你把这个点向右拉（现在无法再把它降低），阴影会变得更黑，甚至发焦，但当画面黑场不足时，用这个办法可以加深黑场。
曲线的右端点代表白场，假如你把这个点降低，高光就会变暗，鼻尖、眉弓等处的反光就会变成灰色，这一般是不采用的；假如你把这个点向左拉（它已经无法再升高），接近高光的亮颜色就会变成高光，当画面亮调灰暗无力时，这是一个办法。
可以调节的是4条曲线：RGB（总亮度）、R（红）、G（绿）、B（蓝）。当调节总亮度不能如愿时，你就要调节三原色。要知道RGB图像的颜色是由红、绿、蓝三原色组成的，还要知道改变每种原色的亮度对总的颜色有什么影响。这很容易，随便打开一幅RGB图，随便调节三原色曲线，你就会明白它们的作用。在有了足够的调色经历后，你要具备这样的条件反射：看到任何颜色，都能想象它的三原色组成，比如红润明亮的肤色是由很亮的红、较亮的绿和很暗的蓝组成的。
（2）CMYK曲线
它的横坐标是原来的油墨量，纵坐标是调整后的油墨量，取值范围是0～100。
“油墨量”是个笼统的说法，确切地说，它是网点面积覆盖率，是单位面积的纸被油墨覆盖的百分比。比如青的网点面积覆盖率是70%，意味着在1平方毫米的纸上，有0.7平方毫米被青墨覆盖。油墨覆盖得越多，颜色越深，因此70%的青墨比50%的青墨深，0%完全是白纸（印刷上叫“空白”），100%完全是墨（印刷上叫“实地”）。**墨也是这样。
通常的印刷使用4种油墨——青、洋红、黄和黑，前面3种是颜料三原色，画过画的人都知道它们可以组成丰富的色相，黑是用来增加明暗层次的。因此，在CMYK“曲线”对话框中有5种曲线可调节——CMYK（总墨量）、C（青墨量）、M（洋红墨量）、Y（黄墨量）和K（黑墨量）。
请打开任何一张CMYK图片，调节这些曲线，你立刻会明白每种油墨的增减对画面有什么影响。
对于CMYK要形成这样的条件反射：看到任何颜色都能想象它的四色组成。比如明亮红润的肤色是由较多的洋红、较少的黄、很少或空白的青和黑组成的。照相制版时代的分色工比我们更强，他对CMYK值的想象能精确到5%。把这样一位老人从印刷厂退休职工麻将室拉出来，让他对我们的图1-2a说点什么，他会说亮调的黄居然上了20，太多了。而我们要做的，就是把曲线往下拉。
