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连续曲线(continuous curve)是复平面上的拓扑基本概念之一，闭线段a≤t≤b(a≠b)到复平面的连续映射称为连续曲线。若x(t)和y(t)是两个在区间a≤t≤b上连续的函数，则z=z(t)=x(t)+iy(t)，(a≤t≤b)在平面上确定一条连续曲线γ。若对任意的t1∈(a，b)及t2∈[a，b]，只要t1≠t2就有z(t1)≠z(t2)，则称连续曲线γ为简单曲线或若尔当弧，z(a)称为这条简单曲线的起点，z(b)称为这条简单曲线的终点，若简单曲线γ还满足z(a)=z(b)，则称γ为简单闭曲线，简单闭曲线也称为若尔当曲线 [1]  。

连续曲线定义

在直角坐标系中一条连续曲线L的参数方程为
此处
是实连续函数，那么在复平面上，连续曲线L就可以表示为
此处
是实变量的复连续函数 [2]  。

连续曲线相关性质

指定了起点和终点的连续曲线称为有向曲线，若不作特别说明，一般规定沿参数 t 增加的方向为曲线正方向，即连续曲线(1)以
为起点，而以
为终点，这时(1)的反向曲线可表作
。
若
即L的两个端点重合，则称L为闭曲线。若有
，使得z(t1)=z(t2)，它们就是曲线L上的重点，没有重点的曲线称为简单曲线，仅仅在两个端点重合的曲线称为简单闭曲线。
若有
使得
而z(t)是
上的广义连续函数，则称L为广义连续曲线。例如，射线为广义简单曲线；直线为广义简单闭曲线。
连续曲线
经连续函数
映照的象仍是一条连续曲线，它的参数表示为
。
一条简单闭曲线L将平面分为两个没有交集的区域，它们以L为公共边界，其中一个为有界的区域，称为内部；另一个为无界的区域，称为外部。这是著名的约当定理。
以上结论对扩充复平面上的广义简单闭曲线也是正确的，只是被它分成的两个区域将都是无界的。
如果一个区域的边界为简单闭曲线，则规定边界曲线(相对于区域的)正方向为：当沿边界曲线正方向行进时，区域应保持在其左方。
扩充复平面上的一个区域D称为单连通区域，若属于D的任意一条简单闭曲线的内部或外部之一仍属于D，否则就称为多连通区域。复平面及扩充复平面本身就都是单连通区域。
例如，圆周
将扩充复平面分为两个区域，圆内
及圆外
，它们都是单连通区域，它们以圆周
为公共边界。显然，对于不包含
点的复平面，圆外不再是单连通区域，而是一个无界的多连通区域。
从扩充复平面上除去一条非闭的简单曲线L，余下的部分是一个单连通区域，这样的非闭的简单曲线L形象地称为割口，所得的区域称为带割口的区域，割口上的点(非端点)看作是重叠在一起的分别属于割口两侧的两个边界点。
例如沿正半实轴割开的复平面：
就是一个带割口的区域；沿着区间[一1，1]割开的扩充复平面也是一个带割口的区域。
设
是复平面上n+1条简单闭曲线，其中
这n条曲线互不相交且互不包含另一条曲线在其内部，但它们全在L0的内部，则称以这n+1条简单闭曲线为边界的区域为n+1连通区域。特别地，上述的n+1条简单闭曲线都允许其中任意一条退化为一段制口，甚至是一个孤立点，例如圆环
及邻环
都是有界的二连通区域；再如,若L0退化为点，那得到的将是扩充复平面上的无界的n+1连通区域；若L0不存在，那么，以
这n条曲线为边界的区域就是扩充复平面上的无界的n连通区域 [2]  。
参考资料
  • 1.    《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第三卷：中国科学技术出版社，2002.08
  • 2.    陈方权，蒋绍惠．新世纪高等学校教材 解析函数论基础 （第二版）：北京师范大学出版社，2008年02月第2版