The most important key to successful investing can be summed up in just two words —— asset allocation.
不夸张的说，资产配置是投资中最关键的一环。无论我们有多少个收益源、多少因子，最终都要力争在最小化投资组合风险的前提下实现更高的收益。这正是资产配置（asset allocation）。
谈到资产配置，最著名的要数 Mean-Variance Optimization（MVO）模型，它的数学表达式如下：
其中 ω 是资产权重向量、μ 和 Ω 分别为预期收益率向量以及协方差矩阵、δ 是风险厌恶系数。当不考虑任何约束是，上述 MVO 问题的最优解是：
如果考虑所有资产权重加起来占资金量 100%，即 Σω = 1，则可以将上述最优解中的等号换成“正比于”符号，它和最终的权重只差一个 scaling factor 而已：
对于权重为 ω 的投资组合，其夏普率为：
数学推导可以证明，最大化投资组合夏普率的 ω 也正比于 (Ω^{-1})μ，因此 MVO 的最优解 ω_{mvo} 可以最大化投资组合的夏普率。这就是它吸引人的原因。
当然，由于对输入（μ 和 Ω）非常敏感，且事前预测未来的 μ 和 Ω 异常困难（Ω 中包括资产自己的波动率 σ_i 以及资产间的相关系数 ρ_ij），MVO 在投资实务中也没少被人诟病。为了避免猜 μ 和 Ω 的问题，人们又相继提出了很多其他的资产配置方法，诸如：equal weight、minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity（又称 equal risk contribution）。
在实际资产配置中，由于 μ_i、σ_i、ρ_ij 中的一个或多个难以预测，我们舍弃 MVO 并退而求其次选择上述这些方法之一。无论采取哪种方法，我们都希望最大化投资组合的夏普率。事实上，当 μ_i、σ_i、ρ_ij 这些参数满足特定条件时，所有上述方法均可以等价于 MVO。在资产配置时，我们可以对资产参数 μ_i、σ_i、ρ_ij 所满足的条件做适当的假设，从而选择最合适的配置方法。
本文的目的就是梳理上述几种资产配置方法背后的数学模型，从而搞清楚它们分别在何种参数条件下等价于 MVO，并以此指导我们在投资实务中正确选择它们。最后想要说明的是，由于篇幅和我的知识有限，本文无法覆盖所有主流的资产配置模型。但是本文的思路可以用来分析其他方法。
本文考虑的资产配置方法包括：Minimum Variance、Maximum Diversification、Risk Parity / Equal Risk Contribution 和 Equal Weight。以下逐一说明。
Minimum Variance 方法的数学表达式为：
可以证明，它的最优解满足如下关系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：
将其和 ω_{mvo} 比较不难发现，当所有资产的收益率 μ 相等时，minimum variance 方法等价于 MVO。
接下来是 Maximum Diversification。它的数学表达式为：
其中 σ = [σ_1, σ_2, …, σ_N]' 表示 N 个资产标准差（波动率）的向量。该方法最大化资产线性加权波动率与投资组合波动率的比值，故称为最大分散化资产配置组合。它的最优解满足如下关系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：
同样的，将其和 ω_{mvo} 比较发现，当所有资产的收益率 μ_i 和它们对应的波动率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j）时，maximum diversification 方法等价于 MVO。
再来看看 Risk Parity / Equal Risk Contribution。它要求每个资产对投资组合的风险等贡献，即：
其中 σ_p 代表投资组合的波动率。该条件可以转化为如下数学优化问题：
其中 (Ωω)_i 表示向量 Ωω 的第 i 行，即一个标量。Maillard, Roncalli, and Teïletche (2010) 一文对 Equal Risk Contribution（ERC）配置方法进行了非常详尽的数学论述，得出了很多有益的结论。其中，最重要的是，当所有 N 个资产两两相关系数相等（即所有 ρ_ij 都等于某常数 ρ）时，ERC 的最优解为：
除了 ERC 之外，另一个与其十分接近的配置方法是 equal risk budget（ERB）。根据定义，ERB 的最优解满足 ω_i = σ_i^{-1}/(Σ_jσ_j^{-1})。换句话说，当所有资产两两相关系数均相等时，ERC 和 ERB 一样。Carvalho, Lu, and Moulin (2012) 指出，当资产夏普率相同，且相关系数均相同时，ERB 等价于 MVO。由此可以推断出 ERC 等价于 MVO 的条件：所有资产的收益率 μ_i 和它们对应的波动率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j，意味着夏普率相同）、且所有资产两两相关系数相同。
最后来看看 Equal Weight。这种等权方法没什么可优化的，其权重为：ω_{ew} = [1/N, …, 1/N]'，即每个资产占 1/N 的比例。当所有资产的波动率相同时，ω_{ew} 可以看成 ERB 的一种简单形式。由此可以推导出，equal weight 如果想等价于 MVO 则要求资产的 μ_i、σ_i、ρ_ij 满足以下三方面非常苛刻的条件：
1. 所有资产的收益率 μ_i 和波动率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j）;
2. 所有资产两两相关系数相同；
3. 所有资产的 σ_i 相同。
下图对上述配置方法进行了总结。
下一节进行一些简单实验说明当参数满足不同条件时，这些方法的差异。
从上节末的表格中不难看出，除了 minimum variance 之外，其他三种方法对参数的要求依次增强。因此，我们可以构建一系列实验，从最苛刻的条件开始，并逐一放松约束，以此观察这三种方法的配置结果和 MVO 配置结果的差异。（稍后会单独比较 minimum variance 和 MVO。）
由于 equal weight 配置方法需要三个条件才等价于 MVO，因此下面一共考虑四个实验：
1. 第一个实验中三个条件均满足，即资产波动率相同、收益率与波动率之比相同、两两相关系数相同；
2. 第二个实验中去掉资产波动率相同；
3. 第三个实验中进一步去掉两两相关系数相同；
4. 第四个实验中去掉全部三个条件。
在这四个实验中比较 equal weight、equal risk contribution、maximum diversification 以及 MVO 四种方法。每个实验中假设有三个资产，作为实验输入给定它们的 μ_i、σ_i 以及 ρ_ij，并考察不同资产配置方法得到的最优配置权重（所有方法均需要满足约束 Σω = 1）以及夏普率。
实验结果如下表所示。
随着参数满足的条件逐渐去除，equal weight、equal risk contribution 以及 maximum diversification 依次在与 MVO 的比较下败下阵来。上述结果说明，对参数（无论是 μ、σ 还是 ρ）的准确估计对资产配置结果是至关重要的；等权（或简单多样化）只是一种无法（准确）估计参数时的无奈之举。一旦有了任何关于 μ、σ、ρ 的（靠谱）信息都应该充分利用，并合理对未知参数可能满足的条件进行假设，从而选择最合适的资产配置方法。
最后下图展示了 minimum variance 和 MVO 的比较。由于两组实验中，只改变了 μ 的取值而协方差矩阵不变，因此 minimum variance 配置给出了相同的结果；但是仅当所有资产 μ 相同时，minimum variance 才等价于 MVO。
写今天这篇文章源于我最近看了 Bender, Blackburn, and Sun (2019)。该文比较了不同的配置方法在构建因子投资组合时的效果（包括一些本文没有涉及的方法，见下表）。
对于 MVO，Bender, Blackburn, and Sun (2019) 的态度是，虽然输入的准确性至关重要，但我们也没有必要急于否定最优化在资产（因子）配置中的作用，因为其他方法都是在某种假设下对 MVO 的近似。
资产配置有很多不同的方法。本文希望传达的态度是：无论选择哪种方法，都应该搞清楚其数学模型背后的对参数的假设是什么。搞清楚每个模型在什么情况下等价于 MVO 至关重要。使用一个模型，绝不是简单的把不能猜的参数忽略掉、把能猜的参数扔进去，而是要明白它到底配了什么。
Bender, J., T. Blackburn, and X. Sun (2019). Clash of the titans: factor portfolios versus alternative weighting schemes. The Journal of Portfolio Management, Quantitative Special Issue, Vol. 45(3), 38 – 49.
Carvalho, R. L., X. Lu, and P. Moulin (2012). Demystifying equity risk-based strategies: a simple alpha plus beta description. The Journal of Portfolio Management, Vol. 38(3), 56 – 70.
Clarke, R., H. de Silva, and S. Thorley (2013). Risk parity, maximum diversification, and minimum variance: an analytic perspective. The Journal of Portfolio Management, Vol. 39(3), 39 – 53.
Maillard, S., T. Roncalli, and J. Teïletche (2010). The properties of equally weighted risk contribution portfolios. The Journal of Portfolio Management, Vol. 36(4), 60 – 70.
