近来发现，不少读者对《乱世华尔街》最感兴趣的部分是开篇关于**的那一段。看来21点毕竟比利率掉期更贴近群众。其实**和投资颇多相似，赌场里的经历也对我在华尔街当交易员极有帮助。书里由于篇幅所限，未能详细讨论，准备在博客里展开谈谈。
讲到**和投资，人们通常都急于学会赚钱的招数，其实我个人认为赚钱方法是不容易学的，需要很多经验和悟性。初学者要迅速提高“段位”，倒是应该重点先练练防守。防守是有一定套路，可以学习的。
在我看来，**和投资取得成功的先决条件都是要做好防守，保住本钱，然后耐心等待真正的机会。总而言之，绝对不能在革命胜利前牺牲。别以为这很容易做到，且不说我们周围那些“发财未遂身先死”的赌友股友，即便在投资界绝顶高手中，从云端跌落者也大有人在。且看几个例子：
上述诸人都可称是资本市场的奇才，最终却都失败了。他们的经历告诉我们：不注意控制风险，就会发生《渔夫和金鱼》中的那一幕：努力奋斗当上了教皇，结果又变回了海边的小木屋。
活着最重要。
很多年前，我经常从纽约的中国城坐“发财大巴”去大西洋赌城，同车的多是在餐馆发廊里打工的劳动人民。他们大都企望在赌场里改变命运，结果却往往是送掉了微薄的薪水。
记得有一次，邻座的女孩说她每个星期都去赌场玩百家乐，还有一套取胜秘诀云云。回程的时候聊天，我赢了800美元，她输了4000。我顿时兴致大减，4000美元应该是她一个多月的收入！
看着满车衣着简朴的同胞，我忽然感到很悲哀，痛恨那些做发财大巴生意的人，简直是送羊入虎口！我试图告诉女孩玩百家乐会“久赌必输”，但她不肯相信，说这次只是“运气”不好，下个星期再去翻本。
我无语，太多失败的人把“运气”当做借口。一把输赢确实是运气，10000把输赢就是大数定理（胜率大者几乎必胜）。在赌场中那些庄家稳操概率优势的游戏中反复**，输光岂非只是时间问题？所以有句话说：赌场不怕你赢，就怕你不来。
投资也是同样的道理。股市比赌场好一些，长期看应该是正回报的游戏。但是由于做庄、内幕交易、印花税等因素，普通投资者如果“赌”的太频繁，回报率很难跑赢大市，甚至可能“久赌必输”。所以，别相信市面上那些教人“快速致富”的所谓“秘诀”，99%是浮云，99%是忽悠。最重要的招数不是怎么出招。
日本江户时代有位“剑圣”宫本武藏，曾与人决斗六十余次，未尝一败。他除了技艺出众，还有个秘诀：从不和比自己厉害的人过招。
没有把握，绝不出手。
这就是赌客和投资者都必需牢记的第一招。
形势有利时如何**很需要技巧。押太少了浪费机会，押太多了“牺牲”的风险大增。什么才是不多不少的合适赌注呢？1956年，科学家凯利（John Kelly）就此发表了论文，提出了著名的凯利公式。
f* = （bp - q） / b
其中，f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率，q = 1-p
b = 赔率，例如在***中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
上篇中讲到的21点**问题，假设总赌本1万美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：$10000 * （1 * 0.51 - 0.49）/ 1 = $200
我知道很多人看到数学公式就头大，但要玩好**和投资没法不用到数学。最重要的不在于带公式计算数字，而是要弄明白公式背后真正的“意思”。
首先，公式中分子的bp - q 代表“赢面”，数学中叫“期望值”（expectation），凯利公式指出：正期望值的游戏才可以**，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不**”。
其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。下面三个正期望值的游戏，你看看选哪个：
1.“小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2.“中博中”：胜率60%，1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？但是用凯利公式中的“b”一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。赢钱速度“大博小”快多了！前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？说的就是这个了。
现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。谁爱玩“大博小”呢？赌场！华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（**赌注）。关于这点后面还要详细讲。
最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。
为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢？原因多半在“赌注太大”。上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。
在凯利公式问世16年前的1940年11月28日，一位曾经威震华尔街的独行侠在纽约沃尔道夫饭店的衣帽间里拔出了**，他匆匆给妻子留下了一张便条：“……我已厌倦了战斗……这是唯一的解脱。”然后饮弹自尽。
杰西·利弗莫尔（Jesse Livermore），不朽名著《股票作手回忆录》的主人公，就这样悲凉地结束了传奇的一生。
如果你还没看过《股票作手回忆录》（Reminiscences of a Stock Operator），我强烈建议补上这一课。不少世界级的对冲基金经理都极为推崇此书。跟随主人公的人生起伏，你可以领略百余年前纷乱而又生机勃勃的美国金融市场的风貌，并惊诧于世间竟有利弗莫尔这般奇才。
他身处“原始时代”，居然总结出了许多现代投资者奉为经典的规律：诸如赚钱时才可加码，亏钱时应当止损，不要轻信他人观点或所谓“内幕消息”，以及一套完整的“**”手法。
更令人叹服的是，利弗莫尔不但是理论家，而且是实践家。他的交易人生几起几落，从白手起家到1907年时的数百万美元身价，再到1929年时的1亿美元身价！那时汽车才卖几百美元一辆，利弗莫尔完全靠交易赚到的1亿美元相当于今天的100亿美元以上！
这样一位不世出的奇才后来却在市场上尽失巨额财富，最后演出了本文开始时那悲凉的一幕。利弗莫尔是怎么走的麦城呢？文献并无具体记载，但如果仔细分析他的交易习惯，就不难发现蛛丝马迹。
利弗莫尔的交易生涯始于Bucket Shop（可意译为“股票赌场”）。19世纪末，美国股票市场十分活跃，而技术进步使远离纽约的普通人也有机会“实时”参与股票投机：与电报线相连的自动报价机可以随时将纽约交易所的最新成交价传遍全国。当时很多人想参与投机，但缺乏买卖股票的资金，奸商们借机将这批人吸引到“股票赌场”。赌场中有自动报价机，玩家们似乎在交易股票，实际上是在赌大小。
举个例子，某股票的最新报价是80美元，玩家只需交纳1美元保证金就可以买“大”，如果报价机上出现了79美元或更低的价格，那么对不起您输光了；如果报价机上打出了81美元，玩家可以兑现1美元盈利，也可以继续等。
股票赌场的奸商们怎么赚钱呢？除了利用群众们经常押错的特点，他们还串通某些券商操纵市场。比如在80美元的价位上很多玩家押了“大”，赌场庄家就指使纽约交易所的同伙打压股价，只要自动报价机上打出一个79美元的价格，赌场就通吃了**的**。
当时还很年轻的利弗莫尔没什么钱，在股票赌场里混，逐渐练就了根据报价预测市场价格（Read Tape）的本领。那时候没有电脑，更没有实时K线图，利弗莫尔的“读盘”功夫实际就是技术分析的原型。但我很怀疑他也在股票赌场里养成了“坏毛病”：押注太大。
从凯利公式的角度分析，股票赌场的超低保证金其实是赌徒们的“杀手”。杠杆那么大，押注远超凯利最优值，输光是迟早的事。那时的美国正规金融市场的交易保证金也很低。利弗莫尔后来的交易经历表明，他一直保持了超大赌注的风格。
读他的交易历程简直令人心惊肉跳，股票、棉花、大豆，不管什么都是超高杠杆全仓操作，这固然成就了利弗莫尔的传奇伟业，也令他数次破产。所幸几次都有贵人相助，利弗莫尔才得以抓住1907年、1915年和1929年几次重要机会屡攀高峰。但智者千虑、终有一失，我很怀疑正是“押注太大”的毛病令利弗莫尔在身价达到1亿美元的短短数年后就输光了所有钱。最后一次，他没能东山再起。
如果利弗莫尔将基于凯利公式的资金管理方法和他高超的市场把握能力结合在一起，这位天才会创造出怎样的奇迹呢？
历史没有如果。利弗莫尔已如流星划过，也许他早生了几十年。资金管理和风险控制的理论在50年代才开始成型。凯利公式指出：赢面大、波动性小的游戏可以押较大赌注。那么如何量化“赢面大，波动性小”呢？与凯利同时代的一位学者提出了一个著名的指标。
评估投资机会的优劣应该从收益期望和风险两方面综合考虑。如何量化这一思想呢？1950年代，有人提出用回报期望和波动性的比例作为衡量投资机会的指标。1966年，学者夏普（William Sharpe）在此基础上提出了著名的夏普比率（Sharpe Ratio）：
S = （R – r） / σ，
其中：R = 投资的回报期望值（平均回报率）
r = 无风险投资的回报率（可理解为投资国债的回报率）
σ = 回报率的标准方差（衡量波动性的最常用统计指标）
夏普比率S越高，投资机会的“质量”越高。举个例子：
甲投资：超额（超出国债）回报期望10%，标准差20%，夏普比率为0.5
乙投资：超额回报期望5%，标准差5%，夏普比率为1
乍一看，甲投资回报期望高，似乎是比较好的机会。其实乙投资更胜一筹（通常情况下），因为它的夏普比率高，意味着投资者用1个单位的“风险”能换取更多的回报期望。从杠杆投资的角度也可以得出同样的结论：假设投资者以r贷款利率融资，在乙投资机会上加1倍杠杆，那么“杠杆化”的乙投资就变成了10%回报期望，10%标准差，与甲投资的回报期望相同，而风险较小。
夏普比率多高才算“好”呢？我们来看一个实际的例子：美国股市的长期年平均回报率约为10%，波动性约为16%，无风险利率约为3.5%，因此夏普比率约为0.4（来源：维基百科）。翻译成白话就是：投资美股指数的年均回报率约比无风险利率高6.5%，但平均6年中有1年的回报率低于-6%（1倍标差之外）。
对于长线投资的散户而言，投资美股的风险/回报还算说的过去。如果是对冲基金经理，这样的夏普比率就太低了：假设你的目标是20%年回报率，就必需用2.5倍杠杆（回报期望 = 2.5*10% - 1.5*3.5% ≈ 20%），也就意味着平均6年中有1年的回报率将低于2.5*（10% - 16%）- 1.5*3.5% = -20%。你赔了超过20%，客户大概就要跑光了。
一般说来，夏普比率超过1才是“好游戏”。这种机会在“简单投资”中并不多见，因此职业投资者常常利用对冲手段“改造”投资游戏，提高夏普比率。《乱世华尔街》中多次提到，对冲与杠杆是一对孪生姐妹，两者往往配合使用，说得就是这个原理。
例如，你发明了一种方法，用各种资产相互对冲得到夏普比率为2的投资机会，那你就可以大胆加杠杆（数学好的同学们可以自己计算赔钱的概率），投资者大概要追着给你的对冲基金投钱了。但对冲+杠杆的投资方法通常有个“练门”：需要借很多钱，对流动性要求高，因此遇到突发性危机往往会出问题，《乱世华尔街》中就分析过LTCM和高盛Global Alpha基金的例子。
夏普比率也存在缺陷，它假设回报是正态分布，而实际的投资回报分布有“肥尾”（赔大钱的概率高于正态分布的估计），因此单纯根据夏普比率挑选投资机会存在问题，也容易被“操纵”。这个话题此处暂不展开讨论。
对普通投资者而言，夏普比率提示要从风险和回报的角度综合考虑，挑选“性价比”高的投资。这正是前面的文章中提到的观点：正回报的游戏要挑波动性小的，负回报的游戏如果非得玩，就挑波动性大的。总之，夏普比率越高越好。
夏普比率讲的是如何挑选“游戏”，而凯利公式讲的是选好了游戏后如何**才能取得最优的长期回报率。现在我们就把两种方法配合起来使用，看看21点计牌到底是不是条发财的路。
最近一直没写博客，主要是因为懒。今天过父亲节，酒足饭饱之后，忽觉髀肉复生，岁月蹉跎，老之将至，于是奋然提笔，续写“**与投资”系列。
上次谈到夏普比率，博友们提了不少问题，主要集中在几个方面：
第一个问题：关于美国股市的那个例子中，“平均6年中有1年的回报率低于-6%”是怎么算出来的？
夏普比率假设投资回报符合正态分布。从数学上说，大量**随机事件之和一般符合正态分布。例如不停地扔硬币，正面为1，反面为-1，大量重复后结果之和就符合正态分布。
前面的博客提到过，学术界流行“有效市场理论”：股市每一步运动方向都是**随机的，相当于不断“扔硬币”，最后回报率当然就符合正态分布。再讲下去就是数量金融的基础课《随机过程》了，就此打住。
正态分布的假设虽不完美，但不失为理解问题的基本框架。下图显示了正态分布的概率数值。例如，回报率在0倍到0.5倍标准差之间的概率为19.1%（图中绿色部分）。同理，回报率低于-1倍标准差（图中橙色部分）的概率约为16%。应用于美国股市（回报率中值10%，标准差16%），年回报率低于-1倍标准差，即10% - 16% = -6%的可能性约为1/6。“平均6年中有1年的回报率低于-6%”就是这么估算出来的。
第二个问题：夏普比率的假设有没有不符合实际之处？
当然有。正态分布的假设就不完美。实际上，股市运动不完全“**随机”，否则我们就不需要费心研究什么规律了。例如在金融危机中，股市运动有很强的序列相关性（serial correlation），即所谓“趋势”，导致实际的股市回报有“肥尾”现象，就是说“跑到极端位置”的可能性高于正态分布的估计。
另外，夏普比率中的“无风险回报率”r是个模糊的概念，投资者的融资成本也不是r。再有，波动性的测算也并非简单问题。其他不一一介绍了，已有N多学术论文讨论夏普比率的局限性及改进方案。
第三个问题：夏普比率对普通投资者到底有什么用处？
主要是思维上的启示：投资不能只看回报率，还要看担多少风险。下次再有人告诉您“我过去三年平均回报30%！”的时候，您可以“弱弱”地问一句：“波动性多大？”。下篇博客中，我们来看一个对冲基金的真实例子。
上次谈到，评估投资绩效不能只看回报率，还要考虑风险因素。现在我们就来看一个对冲基金的实际例子。下表是几个知名大型对冲基金的平均年回报率（资料来源：汇丰银行研究报告）。这些基金管理资产均在10亿美元以上，开业时间均在5年以上。您会把钱投给哪家基金呢？
您会选年回报率79%的基金D，对吗？恭喜，您选中的正是在金融危机中大举做空次贷类产品，豪取几十亿美元利润，出尽风头的Paulson Credit Opportunities Fund。创建并管理该基金的保尔森（和前任美国财长保尔森同姓，但没有亲属关系）也一举成为最著名的基金经理之一。
但我们刚刚讨论过：不能只看回报率，还要考虑风险。表2中列出了各基金的波动性和夏普比率估值（假设无风险回报率为3%），您看过之后有何想法？
从波动性和夏普比率的角度一分析，情况有点复杂了。基金C回报率虽然只有15%，但波动性不到5%，因此夏普比率高达2.7，竟比保尔森基金的1.5高出近一倍！换言之，基金C的波动性只有保尔森基金波动性的十分之一，假设投资者只愿意承担固定的波动性风险，那么他可以投资1元在保尔森基金或10元在基金C，风险都差不多，而投资基金C的总回报更高。
基金C是Millennium Intl Ltd（千禧年基金），对冲基金业界的常青树，旗下经理中曾有若干华裔高手。站在投资者角度，到底是选“赚得狠”的保尔森基金，还是选“赚得稳”的千禧年基金，还真有点难以取舍。另外，基金A和基金B的夏普比率都明显高于美国股市的0.4，也是不错的投资选项。而基金E的回报率竟低于无风险利率，“境界”太低了。
再进一步分析，仅用夏普比率做比较，好像对保尔森基金“不太公平”：它的波动性虽然高，但主要是“向上波动”，在盈利嗖嗖涨的过程中产生的“波动性”，其实并非风险。投资者怕的是赔钱，尤其是一下赔掉百分之几十。所以衡量风险还应该考虑“最大跌幅”，即各基金历史上从最高点“回落”的最**例。（见表3）
现在更有意思了，基金A（Bluecrest Capital）的最大跌幅只有不到5%，而且发生在2003年。该基金在2007-2008年的大危机中竟然避免了重大损失，相当有吸引力。Bluecrest 和千禧年都属于“赚得稳”类型，都躲掉了次贷危机，两者似乎难分伯仲。
它们和保尔森基金相比，可谓春兰秋菊、各擅胜场，因此三只基金都是机构投资者青睐的对象，管理资金分别达到86亿美元，100亿美元和63亿美元。看来人家能“做大”是有道理的。（注：不少“名牌”基金为保持回报率，已不再接收新投资。）
基金E（Drake Absolute Return Fund）也曾是管理数十亿美元的大型基金，但它在金融危机中遭到了50%以上的巨大损失，令投资者失去信心，纷纷撤资，所以Drake现今管理的资本已只有2亿美元。可见，不管做的多大，如果不注意风险也可能“一夜回到解放前”。前文中讲了利弗莫尔，此处的Drake也是活生生的例子。
最后来看看基金B，它的长期年复合回报率15%，夏普比率1，综合指标不错，虽然在2008年一度遭到27%的损失，但已成功渡过危机。可以说基金B具有相当实力，因此它也成为管理10几亿美元的大基金。该基金的名字是FORE Capital（前沿资本），瓢把子Matthew Li（黎彦修）是华人在对冲基金界的一面旗帜。让我们为华裔高手的成功鼓掌！
从这个评估投资业绩的真实例子，我们可以看到夏普比率和最大跌幅等风险指标的用处。初学投资者常有只重回报、不看风险的毛病。凯利公式也好、夏普比率也好，其实都告诉我们一件事：要在回报和风险之间寻找平衡。
