期权波动率有没有准确的表达式？

波动率分为两种，一种是回望型波动率（backward looking），另外一种是前瞻型波动率（forward looking）。前者是用历史数据算出来的波动率，后者是根据现在的期权价格，用 B-S 期权定价模型反推出来的波动率。

前者是已经发生了的历史价格的波动，我们算一个波动率，后者是我们对未来一个价格的波动率的预测，未必准确的。先说前者，回望型波动率：

我们假设有这么一支股票，表现如下表：

我们定义：

•    —— 观测次数；
•    —— 第 i 个时间区间结束时变量的价格，i = 0,1,……，n；
•     —— 事件区间的长度，单位是年。

收益率的计算方式

，i = 1，2，……， n （公式-1）

 的标准差 s 通常估计为：

或者

（公式-2）

是均值，标准差的估计方法是统计学里的，如果忘记了可以网上查一下，或者看一遍可汗学院超简单的教程。

按照上面的数据，我们可以得出：

以及 

日标准收益率的标准差为：

我们的日收益率标准差就是 1.216%，当然这个只是我们在规定时间段内的收益率的统计而已。

波动率可以估计为：（公式-3）

我们假定一年有252个交易日，则 ，将各个值带入能够得到：

因为我没只有20个样本，所以波动率的每年标准差可估计为（公式-4）

3.1% 就是年化波动率了

总结一下，先用公式-1的方法来计算每天的收益率，然后用公式-2来估计一个日收益率的标准差，接着用公式-3来计算波动率，公式-3就应该是题主想要知道的方法。然后用公式-4 来估计实际的年化波动率。

这个收益率是用已经发生了的历史价格来推算一下波动率的，也就是回望型波动率，对于未来还没有发生的价格波动，没人知道具体的价格走向，但我们根据该资产对应的期权价格，与 B-S 期权定价模型可以推算出市场上预计该资产的波动率。

当然这个算出来的只是期权交易者们认为该资产可能的波动率，未来的价格怎么走，没人知道。

B-S期权的定价模型公式为：

其中

N(x) 是标准正态分布的累计概率分布函数，可以用 Excel 里面的 NORMSDIST 函数来计算，c 和 p 分别是看涨期权和看跌期权的价格，是现价，K 是执行价，r 是连续复利的无风险利率，T 是期权的期限， 就是是波动率了。

那现在某资产的期权价格我们可以从报价商那里看到，我们假定c=1.875，=21，K=20，r=0.1，和 T=0.25，我们并不能用上面的期权定价公式反推算处一个公式来计算，但我们可以估计。因为期权的价格为波动率的递增函数，所以我们估计出它的值，我们先给一个比较小的值，比如0.2，我们算出看涨期权的价格 c 为1.76美元， 太低了，我们再用0.3当做波动率去代入公式，计算出的看涨期权为2.1又太高了，所以这个值就应该在0.2到0.3之间，我们再不断尝试，最后计算大概在0.235左右。

也就是说，按照现在期权的价格，我们可以估算出，交易员们认为这个资产价格的波动率应该在23.5%左右。

当然，这个办法只能是估计，期权的交易员们并没有通神的本领能知道未来的价格走势，只是按照期权定价模型来反推出所谓的前瞻型波动率，这个波动率又称为隐含波动率。

值得一说的是，这个隐含波动率在理论上，看涨和看跌应该是一样的，但实际上会发生偏差，可见交易员并非能预言未来的神，市场也不能预测未来的价格，只是个参考而已。

附：苹果公司（Apple Inc）股票期权价格和对应的隐含波动率图：

不同的执行价的隐含波动率是不同的，代表着交易员们对该股票未来波动率的看法。

延伸阅读：

期权的到来如何对期货增益？