金融时间序列分析:9. ARMA自回归移动平均模型

1. ARMA模型

ARMA简单理解就是AR模型和MA模型混合。 
更加复杂的情况下:一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA过程的迭加,也可能是测度误差较大的AR过程。

ARMA(p, q)模型公式: 


 

2. ARMA(1,1)

2.1 模型公式

xt=ϕ0+ϕ1xt−1+at−θ1at−1xt=ϕ0+ϕ1xt−1+at−θ1at−1      or        (1−ϕ1B)xt=ϕ0+(1−θ1B)at(1−ϕ1B)xt=ϕ0+(1−θ1B)at

 

2.2 数学特征

ARMA(1,1)模型的统计性质和AR(1)模型类似,只是局部修改以适应MA(1)的影响。

 

期望 
同AR模型 

E(xt)=μ=ϕ01−ϕ1E(xt)=μ=ϕ01−ϕ1

 

方差 
假定ϕ0=0ϕ0=0 

Var(xt)=(1−2ϕ1θ1+θ12)σ2a1−ϕ21Var(xt)=(1−2ϕ1θ1+θ12)σa21−ϕ12

 

自协方差 

γ1−ϕ1γ0=−θ1σ2aγ1−ϕ1γ0=−θ1σa2

γl−ϕ)1γk−1=0,k>1γl−ϕ)1γk−1=0,k>1

 

自相关函数ACF 

ρ1=ϕ1−θ1σ2aγ0ρ1=ϕ1−θ1σa2γ0

ρk=ϕ1ρk−1ρk=ϕ1ρk−1

ARMA(1,1)模型的ACF和AR(1)模型十分相似,不同之处在于ARMA(1, 1)的指数衰减是从2开始的,所以ARMA(1,1)不能在任意有限间隔后截尾。

  • ARMA(1,1)模型的平稳条件和AR(1)模型相同
  • ARMA(1,1)模型的ACF和AR(1)模型十分相似,不同之处在于ARMA(1, 1)的指数衰减是从2开始的
  • ARMA(1,1)模型的PACF和MA(1)的PACF表现相似,也不能在有限间隔后截尾

 

3. ARMA(p, q)

3.1 模型公式

另外一种形式: 

 

3.2 ARMA定阶

如前文所述,ACF和PACF都不能在有限间隔后截尾,那么无法对ARMA模型进行定阶。 为此提出了推广的ACF:EACF对ARMA模型进行定阶。 EACF是一个二维表,比如,ARMA(1,1)的理论EACF如下: 

一般地,ARMA(p,q)模型的p,q是由EACF表中“O”组成的三角形的左上定点位置决定。

 

4. 预测

ARMA(p,q)模型的预测和AR(p)模型的预测具有相似的特征。超前一步预测 

预测误差: 

eh(1)=xh+1−xh=ah+1eh(1)=xh+1−xh=ah+1

 

超前多步预测 

当 l−i≤0l−i≤0时,x^h(l−i)=xh+l−ix^h(l−i)=xh+l−i

预测误差: 
当l−i>0l−i>0时,ah(l−i)=0ah(l−i)=0 
当l−i≤0l−i≤0时, ah(l−i)=ah+l−iah(l−i)=ah+l−i 
递推可以得到:

 

eh(l)=xh+l−x^h(l)eh(l)=xh+l−x^h(l)

 

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