套利专题之六——正态分布检验

不同价差序列即使平稳在套利效果上必然也会存在着许多不同,为此,对不同平稳价差序列进行描述性统计将是非常有必要的,如偏度、峰度和正态性检验等,平稳的价差序列长啥样子呢?在下述时序图中,序列始终围绕着一个常数附近波动,且波动有界即有限方差。下面给出两幅平稳价差时序图以供参考

 

两个平稳价差序列

两个平稳价差序列

两个平稳价差序列

 

 

卡方拟合优度检验

卡方拟合优度检验(chi-square goodness-of-fit test)——用于检验数据是否服从某个指定分布。正态分布的χ2检验方法:由于正态分布的变量是连续型变量,所以对于正态概率分布的变量要用区间来定义类型,就是将连续变量值根据已给定的区间或者等概率区间确定为不同的类别。变量值划分几个区间,类别数就等于区间的数量。下面我们通过例子来说明正态分布的χ2检验。

 

例1:有人认为某种不规则商品的质量服从正态分布。下表中列出了他随机抽取的40个该种商品的质量数据。

卡方拟合优度检验

 

解:根据题意,假设可设为:

  • H0:质量服从正态分布;
  • H1:质量不服从正态分布。

如果H0为真,则需要知道质量总体的均值和标准差。我们利用上表中的样本数据计算的`X和S作为µ和σ的点估计。

 

卡方拟合优度检验

 

现在需要将样本数据进行类别划分。一种简便的方法是使每个类别的期望值等于5,以满足检验的前提条件。对于本例40个样本数据,可以划分为40/5=8个类别,对于正态分布来说就是划分为8个区间,这8个区间的概率值是相等的,每个区间的概率为1/8=0.125。查标准正态分布表,可得到标准正态分布下划分8个区间的8个临界值点,再通过正态分布标准化的逆过程,可计算出8个临界值所对应的X值(区间界限),如下表:

 

卡方拟合优度检验

 

根据计算的区间界限,将样本数据的每一个数据都分配到对应的区间中,然后统计实际频数。最后由实际频数与期望频数的差值计算卡方统计量,计算过程如下表:

 

卡方拟合优度检验

 

据前述可知该统计量服从自由度为k-r-1的卡方分布。本例中,划分了8个区间k=8,估计了2个总体参数µ和σ,所以r=2,自由度为8-2-1=5。查卡方分布表(双侧显著水平0.5/2=0.025,自由度为5)得卡方值为11.07。因为计算卡方统计量为8<11.07,落在接受域,所以接受原假设,拒绝备择假设,即质量的数据可以认为是正态分布。

 

 

Q-Q图

分位数-分位数 (Q-Q) 图是两种分布的分位数相对于彼此进行绘制的图。正态 Q-Q 图上的点可指示数据集的单变量分布的正态性。如果数据是正态分布的,点将落在 45 度参考线上。如果数据不是正态分布的,点将会偏离参考线。通过对Q-Q图的观察可知,散点越加紧密地围绕45度线是更符合正态分布的。

 

Q-Q图

 

 

 

偏度

偏度是数据的不对称程度。无论偏度值是 0、正数还是负数,都显示有关数据分布形状的信息。

 

对称或非偏斜分布:当数据变得更加对称时,它的偏度值会接近零。下图显示正态分布的数据,顾名思义,正态分布数据的偏度相对较小。通过沿着此正态数据直方图的中间绘制一条直线,可以很容易地看到两侧,一侧镜像到另一侧。

 

对称或非偏斜分布

 

正偏斜或向右偏斜分布:正偏斜或向右偏斜的数据之所以这样命名,是因为分布的“尾部”指向右侧,而且它的偏度值大于 0(或为正数)。薪金数据通常按这种方式偏斜:一家公司中许多员工的薪金相对较低,而少数人员的薪金则非常高。

 

正偏斜或向右偏斜分布

 

负偏斜或向左偏斜分布:向左偏斜或负偏斜的数据之所以这样命名,是因为分布的“尾部”指向左侧,而且它生成负数偏度值。故障率数据通常向左偏斜。以灯泡为例:极少的灯泡会立即烧坏,大部分灯泡都会持续相当长的时间。

负偏斜或向左偏斜分布

 

 

峰度

峰度表示分布的波峰和尾部与正态分布的差异。使用峰度可帮助您初步了解有关数据分布的一般特征。

 

峰度值

 

完全服从正态分布的数据的峰度值为 0。正态分布的数据建立了峰度基准。显著偏离 0 的样本峰度可能表明数据不是正态分布的。

            

正峰度:具有正峰度值的分布表明,相比于正态分布,该分布有更重的尾部和更陡的波峰。例如下图,遵循 T 分布的数据具有正峰度值。实线表示正态分布,虚线表示具有正峰度值的分布。

 

正峰度

 

负峰度:具有负峰度值的分布表明,相比于正态分布,该分布有更轻的尾部和更平坦的波峰。例如下图,遵循 Beta 分布的数据具有负峰度值。实线表示正态分布,虚线表示具有负峰度值的分布。

 

负峰度

 

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