股价运动与期权定价

狼君认为“脱离标的价值或定价谈投资基本是耍流氓”，但到似乎更应数学化的期权，反而想强调：不可太执着数学。理解定价逻辑及暗含缺陷，远比数学推导重要，纯“数学派”偶尔做傻事，一次玩完，如08年美国次贷，保尔森的交易对手们依据“保险精算定价”不断卖出CDS，结果亏到破产。本篇在平价图景后，继续谈谈一说期权，就必然绕不开的股价运动、定价以及所谓希腊字母。
 

一、股价运动

（1）股价运动的假设
A. 股价随时间演化并具偶然性，期权定价时将股价随时间演化假设为连续变量随机过程（实际上股价为离散值），并假设当前股价包含了过去价格的所有信息，也称“马尔科夫性质”或“弱型有效市场”。以上假设，应该说具有较大合理性，ETF比个股符合更好，想想个股股价跳空缺口远多于ETF吧。
B. 有了假设A，进一步假定股价的对数服从正态分布，也称股价服从对数正态分布、几何布朗运动或广义维纳过程。大家知道正态分布的概率密度函数是对称的钟形曲线，变量可正可负，对数正态分布下，股价只能在0以上运动，并且不同于与正态分布的对称性，它呈偏态。
 

（2）股价运动的概率计算
A. 在对数正态分布下，给定现价、年化波动率、期限内，股价和概率就一一对应了。如50ETF现价2.122元，年化波动率0.345，则半年后股价运动到2.3元以下的概率为62.9%，一年后股价仍在2.3元以上的概率为59.2%。
B. 经常说“股票向上（或向下）运动n个sigma”之类的，是什么意思？向上是指股价从现价s0爬升到s0*exp(n* sigma)以上，向下是指跌到s*exp(-n* sigma)以下。如ETF现价2.122，年化波动率0.345，则股价向上运动1个sigma是指股价一年后能到3元以上，理论概率为16%；向上运动3个sigma是指股价到5.98元以上，理论概率为0.13%。
C．狼君会在附注中给EXCEL表，给定输入现价、期限、波动率以及目标价，可得到“股价一定期限后运动到该目标价以下的概率”，任两个目标价的概率相减，能进一步得到股价运动到指定范围的概率。
 

（3）股价分布的缺陷
A. 同学们得到“股价在指定期限后运动到指定范围的概率”，心里一定是“欣喜若狂”的，但不要认为获胜密码在握，事情有两面：一面是，你确实会比完全不懂的人建立一点微弱优势，并且应用于ETF相比个股期权这种优势更大些；另一面是，任何重大“市场转折”、“意外”发生时，依赖机械式概率操作能让你付出惨重代价。
B． 股价对数正态分布假设是有漏洞的，所谓“肥尾效应”(可理解为“黑天鹅常有”)，股价出现3sigma、6sigma次数比计算值大一个量级是常事，A股更甚。
C．若不甘心，还可以采用肥尾修正股价分布，但狼君告诉你，别费劲了，补益甚微，应对办法只有：在用期权策略时，记得不让偶尔的股价极端运动重创账户，即总论所说“但绝无重大损失”。
 

二、期权定价
A．狼君不打算抄写BS公式烦躁各位，只说定价的基本逻辑：首先，如果知道股价在指定期限后会到某值，可以轻易给出该股“认购权”定价，该价价期权买卖双方打平；那么，我们现在知道“股价在指定时间后运动到指定范围的概率”，无非是把各股价下“认购权”价格和对应概率相乘后加和，即为认购期权定价，（“蒙特卡罗方法”定价就是这样干的）。不过，碰巧B和S两人推导出了认购期权定价的解析式而已，再由平价关系可得认沽期权定价。
B．记住期权价格是“现价、行权价、无风险利率、期限、波动率、股息”6个变量的函数。50ETF期权可不用考虑股息（派息后会调整合约乘数），需特别注意波动率，这是个“美妙”而又“无厘头”的家伙。
C. 波动率是一定时间段内股价的标准差，代表了股票收益的不确定性，如期权行情软件常用的60天历史波动率，就是最近60个交易日股价收盘价的标准差。大家有一种直观印象，通常时间越长，股价运动范围越大，数学派把这个定量化为“波动率与期限方根成正比”，即行权期还有n个交易日，则该期限波动率为“年化波动率*sqrt(n/250)”，其中250是一年的大致交易日数。
D．玩家们常说两类波动率，一个叫历史波动率，为“回望量”；另一个叫隐含波动率，为“前瞻量”。“历史波动率”是根据历史股价“实实在在”算的，而“隐含波动率”是根据市场的期权报价反推的（6个自变量重，一般只有波动率未知）。
Ｅ．用波动率判断期权定价贵贱有两种玩法：一是用“隐含波动率”和“历史波动率”比，即“前瞻量“和“回望量”比，此谓入门级玩法；二是用不同期权报价下的“隐含波动率”偏差和历史上的偏差比，第二种比第一种相对靠谱点。
F．说波动率“美妙”是因为它保证了各期限、各行权价期权定价具“合理性”和“可比性”：“具合理性”是说用历史波动率等历史数据定价，比全靠蒙有谱点，“可比性”是说，可以用来判断不同期权哪个偏贵（隐含波动率大）；说波动率“无厘头”是因为，期权定价在某种程度是把“股价的不可预测性”转化为另一后知后觉量“隐含波动率”。
 

三、希腊字母
A．从期权定价的6个自变量中，股价、期限、波动率、无风险利率随时间的演化常在变化（其中无风险利率变化低），期权玩家们试图“精细掌握”以上四个量变化后期权价的变化，分别用Delta、Theta 、Vega和Rho表示，数学上称为一阶偏导的东西。
B．希腊字母的白话解释如下：如某认购的Delta=0.8，含义是50ETF爬升1分钱，期权价增加0.8分钱；如Theta = - 0.3，表示1天过后，期权价将减少- 0.3/250元钱（约1.2厘）；如Vega = 0.45，表示隐含波动率增加1%，期权价增加0.45分钱；如Rho=0.3，表示利率增加1%，期权价增0.34分钱。为何取1分钱、1天、1%之类的小量，不是狼君无聊，因为以上希腊字母只能反映微小变化量。（另外，不要犯蒙了，1张期权价变化要在以上单价上乘以1万，所以期权价报价增0.8分钱，代表一张期权价增80块钱，不算少了哈。）
C．由于股价对期权价影响太直接又重要，所以玩家觉得Delta随股价的变化也很重要，这就是Gamma，数学说法是期权价对股价的二阶偏导，如Gamma=0.9,可理解为股价增加1分钱，delta变化0.9/100=0.009。
D．打开期权行情，点“期权特征值”，没事看看不同期权Delta、 Theta, Gamma, Vega的一些特征（Rho影响小，可不关注），慢慢形成直观图景。对同款认购认沽，需记如下关系：一是认购和认沽delta相减后为1；二是认购和认沽vega和Gamma相同；三是，认购和认沽的Theta和Rho没有简单数字关系。
E．持仓组合的希腊字母具有可加性，即各品种的持仓数*该品种希腊字母值全部加起来就是持仓组合值。“Delta对冲”，“Gamma对冲”等高级名称意思就是让组合的Delta或Gamma为零，甚至同时为零，好听的说法就是“不让股价变化伤害你的组合”，听听就好，对冲往往有代价，也需适时调整组合，因为“希腊字母只反应参数微小变化影响”。
F．后面会给附注，提供希腊字母的Excel计算表，以便“小白从此高大上”。
以上论述不能精确叙述期权数学问题，更多讨论以后再来，狼君已经尽力简化突出要点了，如仍觉不知所云，还有两法：一是彻底忘掉期权，好好生活吧；二是只在总论“思路一和思路二”中活动，忘掉“思路三和思路四”。