本次推文介绍用线性模型处理回归问题。从简单问题开始，先处理一个响应变量和一个解释变量的一元问题。然后，介绍多元线性回归问题（multiple linear regression），线性约束由多个解释变量构成。紧接着，介绍多项式回归分析（polynomial regression问题），一种具有非线性关系的多元线性回归问题。最后，介绍如果训练模型获取目标函数最小化的参数值。在研究一个大数据集问题之前，先从一个小问题开始学习建立模型和学习算法
一元线性回归
假设你想计算匹萨的价格。虽然看看菜单就知道了，不过也可以用机器学习方法建一个线性回归模型，通过分析匹萨的直径与价格的数据的线性关系，来预测任意直径匹萨的价格。先用scikitlearn写出回归模型，然后介绍模型的用法，以及将模型应用到具体问题中。假设我们查到了部分匹萨的直径与价格的数据，这就构成了训练数据，如下表所示：
可以用matplotlib画出图形：
上图中，'x'轴表示匹萨直径，'y'轴表示匹萨价格。能够看出，匹萨价格与其直径正相关，这与我们的日常经验也比较吻合，自然是越大越贵。下面就用scikit-learn来构建模。
预测一张12英寸匹萨价格：$13.68。
一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系；这个线性模型所构成的空间是一个超平面（hyperplane）。超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，如平面中的直线、空间中的平面等，总比包含它的空间少一维。在一元线性回归中，一个维度是响应变量，另一个维度是解释变量，总共两维。因此，其超平面只有一维，就是一条线。
上述代码中sklearn.linear_model.LinearRegression类是一个估计器（estimator）。估计器依据观测值来预测结果。在scikit-learn里面，所有的估计器都带有fit()和predict()方法。fit()用来分析模型参数，predict()是通过fit()算出的模型参数构成的模型，对解释变量进行预测获得的值。因为所有的估计器都有这两种方法，所有scikit-learn很容易实验不同的模型。LinearRegression类的fit()方法学习下面的一元线性回归模型：
y表示响应变量的预测值，本例指匹萨价格预测值， 是解释变量，本例指匹萨直径。截距和相关系数 是线性回归模型最关心的事情.下图中的直线就是匹萨直径与价格的线性关系。用这个模型，可以计算不同直径的价格，8英寸$7.33，20英寸$18.75。
一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是普通最小二乘法（ordinary least squares ）或线性最小二乘法（linear least squares）。首先，我们定义出拟合成本函数，然后对参数进行数理统计。
带成本函数的模型拟合评估
下图是由若干参数生成的回归直线。如何判断哪一条直线才是最佳拟合呢？
成本函数（cost function）也叫损失函数（loss function），用来定义模型与观测值的误差。模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差（residuals）或训练误差（training errors）。后面会用模型计算测试集，那时模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差（prediction errors）或训练误差（test errors）。
模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离，如下图所示：
我们可以通过残差之和最小化实现最佳拟合，也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳拟合。对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和（residual sum of squares）成本函数。就是让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化，如下所示：
其中， 是观测值， 是预测值。残差平方和计算如下：
解一元线性回归的最小二乘法
通过成本函数最小化获得参数，先求相关系数贝塔。按照频率论的观点，首先需要计算x的方差和x与y的协方差。
方差是用来衡量样本分散程度的。如果样本全部相等，那么方差为0。方差越小，表示样本越集中，反正则样本越分散。方差计算公式如下：
Numpy里面有var方法可以直接计算方差，ddof参数是贝塞尔(无偏估计)校正系数（Bessel'scorrection），设置为1，可得样本方差无偏估计量。
协方差表示两个变量的总体的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。如果两个变量不相关，则协方差为0，变量线性无关不表示一定没有其他相关
性。协方差公式如下：
现在有了方差和协方差，就可以计算相关系统贝塔了。
算出贝塔后，就可以计算阿尔法了：
将前面的数据带入公式就可以求出阿尔法了：
α = 12.9 − 0.9762931034482758 × 11.2 = 1.9655172413793114
这样就通过最小化成本函数求出模型参数了。把匹萨直径带入方程就可以求出对应的价格了，如11英寸直径价格$12.70，18英寸直径价格$19.54。
模型评估
前面用学习算法对训练集进行估计，得出了模型的参数。如何评价模型在现实中的表现呢？现在假设有另一组数据，作为测试集进行评估。
有些度量方法可以用来评估预测效果，我们用R方（r-squared）评估匹萨价格预测的效果。R方也叫确定系数（coefficient of determination），表示模型对现实数据拟合的程度。计算R方的方法有几种。一元线性回归中R方等于皮尔逊积矩相关系数（Pearson product moment correlation coefficient或Pearson's r）的平方。
这种方法计算的R方一定介于0～1之间的正数。其他计算方法，包括scikit-learn中的方法，不是用皮尔逊积矩相关系数的平方计算的，因此当模型拟合效果很差的时候R方会是负值。下面用scikitlearn方法来计算R方。
=56.8
然后，计算残差平方和，和前面的一样：
最后用下面的公式计算R方：
R方是0.6620说明测试集里面过半数的价格都可以通过模型解释。现在，用scikit-learn来验证一下。LinearRegression的score方法可以计算R方：
多元线性回归
可以看出匹萨价格预测的模型R方值并不显著。如何改进呢？
匹萨的价格其实还会受到其他因素的影响。比如，匹萨的价格还与上面的辅料有关。让我们再为模型增加一个解释变量。用一元线性回归已经无法解决了，我们可以用更具一般性的模型来表示，即多元线性回归。
写成矩阵形式如下：
一元线性回归可以写成如下形式：
其中，Y是训练集的响应变量列向量，贝塔是模型参数列向量。X称为设计矩阵，是m*n维训练集的解释变量矩阵。m是训练集样本数量，n是解释变量个数。增加辅料的匹萨价格预测模型训练集如下表所示：
同时要升级测试集数据：
学习算法评估三个参数的值：两个相关因子和一个截距。 的求解方法可以通过矩阵运算来实现。
矩阵没有除法运算，所以用矩阵的转置运算和逆运算来实现：
通过Numpy的矩阵操作就可以完成：
[[ 1.1875 ]
[ 1.01041667]
[ 0.39583333]]
有了参数，就来更新价格预测模型：
Predicted: [ 10.06250019], Target: [11]
Predicted: [ 10.28125019], Target: [8.5]
Predicted: [ 13.09375019], Target: [15]
Predicted: [ 18.14583353], Target: [18]
Predicted: [ 13.31250019], Target: [11]
R-squared: 0.77
增加解释变量让模型拟合效果更好了。为什么只用一个测试集评估一个模型的效果是不准确的，如何通过将测试集数据分块的方法来测试，让模型的测试效果更可靠。不过现在至少可以认为，匹萨价格预测问题，多元回归确实比一元回归效果更好。假如解释变量和响应变量的关系不是线性的呢？下面来研究一个特别的多元线性回归的情况，可以用来构建非线性关系模型。
多项式回归
下面用多项式回归，一种特殊的多元线性回归方法，增加了指数项（ 的次数大于1）。现实世界中的曲线关系都是通过增加多项式实现的，其实现方式和多元线性回归类似。本例还用一个解释变量，匹萨直径。用下面的数据对两种模型做个比较：
二次回归（Quadratic Regression），即回归方程有个二次项，公式如下：
只用一个解释变量，但是模型有三项，通过第三项（二次项）来实现曲线关系。PolynomialFeatures转换器可以用来解决这个问题。代码如下：
[[6], [8], [10], [14], [18]]
[[ 1 6 36]
[ 1 8 64]
[ 1 10 100]
[ 1 14 196]
[ 1 18 324]]
[[6], [8], [11], [16]]
[[ 1 6 36]
[ 1 8 64]
[ 1 11 121]
[ 1 16 256]]
一元线性回归 r-squared 0.809726832467
二次回归 r-squared 0.867544458591
效果如上图所示，直线为一元线性回归（R方0.81），曲线为二次回归（R方0.87），其拟合效果更佳。还有三次回归，就是再增加一个立方项（β3x3 ）。同样方法拟合，效果如下图所示：
[[ 1 6 36 216]
[ 1 8 64 512]
[ 1 10 100 1000]
[ 1 14 196 2744]
[ 1 18 324 5832]]
[[ 1 6 36 216]
[ 1 8 64 512]
[ 1 11 121 1331]
[ 1 16 256 4096]]
二次回归 r-squared 0.867544458591
三次回归 r-squared 0.835692454062
七次回归，效果如下图所示：
二次回归 r-squared 0.867544458591
七次回归 r-squared 0.487942421984
可以看出，七次拟合的R方值更低，虽然其图形基本经过了所有的点。可以认为这是拟合过度（overfitting）的情况。这种模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律，而是记忆训练集的结果，这样在测试集的测试效果就不好了。
正则化
正则化（Regularization）是用来防止拟合过度的一堆方法。正则化向模型中增加信息，经常是一种对抗复杂性的手段。与奥卡姆剃刀原理（Occam's razor）所说的具有最少假设的论点是最好的观点类似。正则化就是用最简单的模型解释数据。
scikit-learn提供了一些方法来使线性回归模型正则化。其中之一是岭回归(Ridge Regression，RR，也叫Tikhonov regularization)，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法。岭回归增加L2范数项（相关系数向量平方和的平方根）来调整成本函数（残差平方和）：
scikit-learn也提供了最小收缩和选择算子(Least absolute shrinkage and selection operator,LASSO)，增加L1范数项（相关系数向量平方和的平方根）来调整成本函数（残差平方和）：
LASSO方法会产生稀疏参数，大多数相关系数会变成0，模型只会保留一小部分特征。而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时，LASSO方法会让其中一个变量的相关系数会变成0，而岭回归是将两个系数同时缩小。
scikit-learn还提供了弹性网（elastic net）正则化方法，通过线性组合L1和L2兼具LASSO和岭回归的内容。可以认为这两种方法是弹性网正则化的特例。
梯度下降法拟合模型
前面的内容都是通过最小化成本函数来计算参数的：
这里X是解释变量矩阵，当变量很多（上万个）的时候， 右边第一项计算量会非常大。另外，如果右边第一项行列式为0，即奇异矩阵，那么就无法求逆矩阵了。这里我们介绍另一种参数估计的方法，梯度下降法（gradient descent）。拟合的目标并没有变，我们还是用成本函数最小化来进行参数估计。
梯度下降法被比喻成一种方法，一个人蒙着眼睛去找从山坡到溪谷最深处的路。他看不到地形图，所以只能沿着最陡峭的方向一步一步往前走。每一步的大小与地势陡峭的程度成正比。如果地势很陡峭，他就走一大步，因为他相信他仍在高出，还没有错过溪谷的最低点。如果地势比较平坦，他就走一小步。这时如果再走大步，可能会与最低点失之交臂。如果真那样，他就需要改变方向，重新朝着溪谷的最低点前进。他就这样一步一步的走啊走，直到有一个点走不动了，因为路是平的了，于是他卸下眼罩，已经到了谷底深处，小龙女在等他。
通常，梯度下降算法是用来评估函数的局部最小值的。我们前面用的成本函数如下：
可以用梯度下降法来找出成本函数最小的模型参数值。梯度下降法会在每一步走完后，计算对应位置的导数，然后沿着梯度（变化最快的方向）相反的方向前进。总是垂直于等高线。
需要注意的是，梯度下降法来找出成本函数的局部最小值。一个三维凸（convex）函数所有点构成的图行像一个碗。碗底就是唯一局部最小值。非凸函数可能有若干个局部最小值，也就是说整个图形看着像是有多个波峰和波谷。梯度下降法只能保证找到的是局部最小值，并非全局最小值。残差平方和构成的成本函数是凸函数，所以梯度下降法可以找到全局最小值。
梯度下降法的一个重要超参数是步长（learning rate），用来控制蒙眼人步子的大小，就是下降幅度。如果步长足够小，那么成本函数每次迭代都会缩小，直到梯度下降法找到了最优参数为止。但是，步长缩小的过程中，计算的时间就会不断增加。如果步长太大，这个人可能会重复越过谷底，也就是梯度下降法可能在最优值附近摇摆不定。
如果按照每次迭代后用于更新模型参数的训练样本数量划分，有两种梯度下降法。批量梯度下降（Batch gradient descent）每次迭代都用所有训练样本。随机梯度下降（Stochastic gradientdescent，SGD）每次迭代都用一个训练样本，这个训练样本是随机选择的。当训练样本较多的时候，随机梯度下降法比批量梯度下降法更快找到最优参数。批量梯度下降法一个训练集只能产生一个结果。而SGD每次运行都会产生不同的结果。SGD也可能找不到最小值，因为升级权重的时候只用一个训练样本。它的近似值通常足够接近最小值，尤其是处理残差平方和这类凸函数的时候。
下面用scikit-learn的SGDRegressor类来计算模型参数。它可以通过优化不同的成本函数来拟合线性模型，默认成本函数为残差平方和。本例中，我们用波士顿住房数据的13个解释变量来预测房屋价格：
交叉验证R方值: [ 0.64102297 0.65659839 0.80237287 0.67294193 0.57322387]
交叉验证R方均值: 0.669232006274
测试集R方值: 0.787333341357
总结
本次推文介绍了三类线性回归模型。首先，通过匹萨价格预测的例子介绍了一元线性回归，一个解释变量和一个响应变量的线性拟合。然后，讨论了多元线性回归，具有更一般形式的若干解释变量和一个响应变量的问题。最后，讨论了多项式回归，一种特殊的多元线性模型，体系了解释变量和响应变量的非线性特征。
